-
Given any function f in n variables with values in an abelian group, a symmetric function can be constructed by summing values of f over all permutations of the arguments.
Если задана какая-либо функция f от n переменных со значениями в абелевой группе (то есть в группе с коммутативной операцией), симметрическая функция может быть построена путём суммирования значений f по всем перестановкам аргументов.
-
The symmetric group on five points is also the symmetry group of the Petersen graph, and the order-2 subgroup swaps the vertices within each pair of vertices formed in the double cover construction.
Симметрическая группа из пяти точек является также группой симметрии графа Петерсена, а подгруппа порядка 2 обменивает вершины в каждой паре вершин, образованных при двойном покрытии.
-
For example, for the group GL(n) (or SL(n)), the Weyl group is the symmetric group Sn.
Например, для группы GL(n) (или SL(n)), группой Вейля служит симметрическая группа Sn.
-
Alternatively, in terms of the bipartite Kneser graph, the symmetric group on five points acts separately on the two-element and three-element subsets of the five points, and complementation of subsets forms a group of order two that transforms one type of subset into the other.
Альтернативно, в терминах двудольного графа Кнесера, симметрическая группа с пятью точками действует раздельно на двухэлементном и трёхэлементном подмножествах пяти точек, и дополнение подмножеств образует группу порядка два, которая преобразует один тип подмножеств в другой.
-
For D4, the fundamental representation is isomorphic to the two spin representations, and the resulting symmetric group on three letter (S3, or alternatively the dihedral group of order 6, Dih3) corresponds both to automorphisms of the Lie algebra and automorphisms of the diagram.
Для D4 фундаментальное представление изоморфно двум спинорным и получающаяся симметрическая группа трёх букв (S3, или, альтернативно, диэдрическая группа шестого порядка, Dih3) соответствует как автоморфизмам алгебры Ли, так и автоморфизмам диаграммы.