| Consequently F is a presheaf, but not a sheaf. | Следовательно F есть предпучок, но не пучок. |
| Here are some additional examples of sheaves: Any continuous map of topological spaces determines a sheaf of sets. | Вот несколько дополнительных примеров пучков: Всякое непрерывное отображение топологических пространств задаёт пучок множеств. |
| A sheaf E of abelian groups on a topological space X is called acyclic if Hj(X, E) = 0 for all j > 0. | Пучок абелевых групп Е на топологическом пространстве Х называется ацикличным, если Hj(X, E) = 0 для всех j > 0. |
| The best we could do is to approximate it by open sets, and even then we will get a presheaf and not a sheaf. | Лучшее, что мы можем сделать - это приблизить его открытыми множествами, и даже в этом случае мы получим предпучок, а не пучок. |
| On a reduced locally Noetherian scheme, however, a coherent sheaf is a vector bundle if and only if its rank is locally constant. | Однако на приведённой локально нётеровой схеме когерентный пучок является векторным расслоением тогда и только тогда, когда его ранг локально постоянен. |
| It is therefore the sheaf associated to the module of Kähler differentials for the rings underlying U and V. Similar to the commutative algebra case, there exist exact sequences associated to morphisms of schemes. | Следовательно, это пучок, ассоциированный с модулем кэлеровых дифференциалов для колец, соответствующих U и V. Аналогично коммутативно-алгебраическому случаю, существуют точные последовательности, ассоциированные с морфизмами схем. |
| Thus a coherent sheaf has constant rank on an open set, while the rank can jump up on a lower-dimensional closed subset. | Таким образом, когерентный пучок имеет постоянный ранг на открытом подмножестве, тогда как на замкнутом подмножестве ранг может подскакивать. |
| Let F be a C-valued sheaf on a topological space X. Fix a point x in X. The open neighborhoods of x form a directed set ordered by inclusion (U <= V if and only if U contains V). | Пусть F - пучок на топологическом пространстве X со значениями в C. Зафиксируем точку x в X. Открытые окрестности x образуют направленную систему по включению (U <= V если U содержит V). |
| F(U) is also often denoted Γ(U, F), especially in contexts such as sheaf cohomology where U tends to be fixed and F tends to be variable. | F(U) также часто обозначается как Γ (U, F) {\displaystyle \Gamma (U, F)}, особенно в контексте теории когомологий пучков, в которой область U фиксируется, а пучок F - переменный. |
| The definition of coherent sheaves is made with reference to a sheaf of rings that codifies this geometric information. | В определении когерентного пучка используется пучок колец, который хранит эту геометрическую информацию. |
| Grothendieck duality theory includes generalizations to any coherent sheaf and any proper morphism of schemes, although the statements become less elementary. | Теория двойственности Гротендика включает обобщения на произвольный когерентный пучок и произвольный собственный морфизм схем, но утверждения становятся менее элементарными. |
| It is nonetheless powerful, because it works in great generality (any sheaf on any topological space), and it easily implies the formal properties of sheaf cohomology, such as the long exact sequence above. | Тем не менее, оно является мощным, так как работает в большой общности (любой пучок на любом топологическом пространстве), и из него легко вытекают формальные свойства когомоолгий пучков, такие как приведённая выше длинная точная последовательность. |
| This sheaf is called the sheaf of sections of f, and it is especially important when f is the projection of a fiber bundle onto its base space. | Этот пучок называется пучком сечений отображения f, он особенно важен, когда f есть проекция расслоенного пространства на пространство своей базы. |
| If U is an open affine subscheme of X whose image in Y is contained in an open affine subscheme V, then the cotangent sheaf restricts to a sheaf on U which is similarly universal. | Если U - открытая аффинная подсхема X, образ которой в Y содержится в открытой аффинной подсхеме V, то кокасательный пучок ограничивается на пучок на U, который также универсален. |
| A sheaf E on a paracompact Hausdorff space X is called soft if every section of the restriction of E to a closed subset of X extends to a section of E on all of X. Every soft sheaf is acyclic. | Пучок Е на паракомпактном хаусдорфовом пространстве Х называется мягким, если любое сечение ограничения Е на замкнутое подмножество Х может быть продолжено до сечения Е на всём Х. Мягкие пучки ацикличны. |