| Block and Weinberger used homological methods to construct aperiodic sets of tiles for all non-amenable manifolds. | Блок и Вайнбергер использовали гомологические методы для построения апериодичных наборов плиток для всех неаменабельных многообразий. |
| Today there is a large amount of literature on aperiodic tilings. | В настоящее время существует большое число литературы об апериодичных мозаиках. |
| Substitution tiling systems provide a rich source of aperiodic tilings. | Системы подстановки плиток дают богатый источник апериодичных мозаик. |
| The Penrose tilings are the best-known examples of aperiodic tilings. | Мозаики Пенроуза являются наиболее известными примерами апериодичных мозаик. |
| Some constructions are based on infinite families of aperiodic sets of tiles. | Несколько построений основываются на бесконечных семействах апериодичных наборов плиток. |
| Despite this, the undecidability of the Domino Problem ensures that there must be infinitely many distinct principles of construction, and that in fact, there exist aperiodic sets of tiles for which there can be no proof of their aperiodicity. | Не смотря на это, неразрешимость задачи домино обеспечивает, что должно быть бесконечно много различных построений и, фактически, существуют апериодичные наборы плиток, для которых нельзя доказать их апериодичность. |
| Aperiodic tilings serve as mathematical models for quasicrystals, physical solids that were discovered in 1982 by Dan Shechtman who subsequently won the Nobel prize in 2011. | Апериодичные мозаики служат математическими моделями для квазикристаллов, физических тел, которые открыты в 1982 году Даном Шехтманом, получившим в 2011 году Нобелевскую премию. |
| Aperiodic tilings were considered as mathematical artefacts until 1984, when physicist Dan Shechtman announced the discovery of a phase of an aluminium-manganese alloy which produced a sharp diffractogram with an unambiguous fivefold symmetry - so it had to be a crystalline substance with icosahedral symmetry. | Апериодичные мозаики считались чисто математическими объектами до 1984 года, когда физик Дан Шехтман объявил об открытии разновидности алюминиево-марганцевого сплава, который давал чёткую дифрактограмму с недвусмысленной пятикратной симметрией. |
| Photonic devices are currently built as aperiodical sequences of different layers, being thus aperiodic in one direction and periodic in the other two. | Фотонные устройства сейчас строятся как апериодичные последовательности различных слоёв, которые апериодичны в одном направлении и периодичны в двух других. |
| As with the term "aperiodic tiling" itself, the term "aperiodic hierarchical tiling" is a convenient shorthand, meaning something along the lines of "a set of tiles admitting only non-periodic tilings with a hierarchical structure". | Как и в случае термина «апериодичная мозаика», термин «апериодичная иерархическая мозаика» является удобным сокращением, означающим нечто вроде «набор плиток, допускающих только апериодичные мозаики с иерархической структурой». |
| However, the tiles shown below force the chair substitution structure to emerge, and so are themselves aperiodic. | Однако плитки, показанные ниже, вынуждает возникновение структуры подстановки плитки «стул», а потому являются апериодичными. |
| Chaim Goodman-Strauss suggested that a tiling be considered strongly aperiodic if it admits no infinite cyclic group of Euclidean motions as symmetries, and that only tile sets which enforce strong aperiodicity be called strongly aperiodic, while other sets are to be called weakly aperiodic. | Хаим Гудман-Штраусс предложил считать мозаики строго апериодичными, если для них не существует бесконечной циклической группы движений евклидова пространства, являющихся симметриями мозаики, и называть строго апериодичными только те наборы плиток, которые приводят к строго апериодичным мозаикам, остальные наборы плиток тогда называются слабо апериодичными. |
| The existence of a strongly aperiodic tile set consisting of one connected tile without matching rules is an unsolved problem. | Существование строго апериодических множеств, состоящих из одной связной плитки без правил соединения, остаётся нерешённой проблемой. |
| In 1973 and 1974, Roger Penrose discovered a family of aperiodic tilings, now called Penrose tilings. | В 1973 и 1974 Роджер Пенроуз открыл семейство апериодических мозаик, ныне называемых мозаиками Пенроуза. |
| This idea - of finding sets of tiles that can only admit hierarchical structures - has been used in the construction of most known aperiodic sets of tiles to date. | Эта идея нахождения набора плиток, которые могут составлять только иерархические структуры, к настоящему времени используется для построения большинства известных апериодических наборов плиток. |
| Frequently the term aperiodic was just used vaguely to describe the structures under consideration, referring to physical aperiodic solids, namely quasicrystals, or to something non-periodic with some kind of global order. | Часто термин туманно использовался для описания структур физических апериодических веществ, а именно, квазикристаллов, или чего-то непериодичного с некоторого рода глобальным порядком. |
| An aperiodic tiling is a non-periodic tiling with the additional property that it does not contain arbitrarily large periodic patches. | Апериодичная мозаика - это непериодичное замощение с дополнительным свойством, что замощение не содержит бесконечно больших периодических кусков. |
| As with the term "aperiodic tiling" itself, the term "aperiodic hierarchical tiling" is a convenient shorthand, meaning something along the lines of "a set of tiles admitting only non-periodic tilings with a hierarchical structure". | Как и в случае термина «апериодичная мозаика», термин «апериодичная иерархическая мозаика» является удобным сокращением, означающим нечто вроде «набор плиток, допускающих только апериодичные мозаики с иерархической структурой». |
| Trahtman (2009) solved the road coloring problem by proving that such a coloring can be found whenever the given graph is strongly connected and aperiodic. | Трахтман(Трахтман 2009) решил задачу раскраски дорог, доказав, что такая раскраска может быть найдена, если заданный граф сильно связен и апериодичен. |
| The graph is aperiodic if and only if the period computed in this fashion is 1. | Граф апериодичен тогда и только тогда, когда период, вычисленный на этой стадии, равен 1. |
| A Markov chain in which all states are recurrent has a strongly connected state transition graph, and the Markov chain is aperiodic if and only if this graph is aperiodic. | Цепь Маркова, в которой все состояния рекуррентны, имеет сильно связный граф переходов и цепь Маркова апериодична тогда и только тогда, когда этот граф апериодичен. |
| However the tile does allow tilings with a period, shifting one (non-periodic) two dimensional layer to the next, and so the tile is only "weakly aperiodic". | Однако плитка позволяет замощению периодичность, если сдвигать один (непериодичный) двумерный слой на другой слой, так что плитка лишь «слабо апериодична». |
| For many well-behaved tilings (e.g. substitution tilings with finitely many local patterns) holds: if a tiling is non-periodic and repetitive (i.e. the each patch occurs uniformly dense throughout the tiling) then it is aperiodic. | Для многих «хороших» замощений (к примеру, подстановок плиток с конечным числом локальных узоров) выполняется утверждение: если мозаика не содержит периода и повторяющаяся (то есть каждая плитка встречается с одинаковой вероятностью по мере замощения) то она апериодична. |
| A Markov chain in which all states are recurrent has a strongly connected state transition graph, and the Markov chain is aperiodic if and only if this graph is aperiodic. | Цепь Маркова, в которой все состояния рекуррентны, имеет сильно связный граф переходов и цепь Маркова апериодична тогда и только тогда, когда этот граф апериодичен. |
| The term aperiodic has been used in a wide variety of ways in the mathematical literature on tilings (and in other mathematical fields as well, such as dynamical systems or graph theory, with altogether different meanings). | Термин апериодичный используется в математической литературе о мозаиках многими способами (а также в других областях математики, таких как динамические системы и теория графов, в совершенно другом смысле). |
| Therefore, the road coloring problem can be stated briefly as: Every finite strongly connected directed aperiodic graph of uniform out-degree has a synchronizing coloring. | Таким образом, задачу о раскраске дорог можно сформулировать коротко следующим образом: Любой конечный сильно связанный апериодичный ориентированный граф с постоянной полустепенью исхода имеет синхронизирующую раскраску. |
| Previous partial or special-case results include the following: If G is a finite strongly connected aperiodic directed graph with no multiple edges, and G contains a simple cycle of prime length which is a proper subset of G, then G has a synchronizing coloring. | Частичные результаты или специальные случаи, полученные до доказательства теоремы: Если G - конечный сильно связанный апериодичный ориентированный граф без кратных рёбер и G содержит цикл простой длины, тогда G имеет синхронизирующую раскраску. |
| Although the Pythagorean tiling is itself periodic (it has a square lattice of translational symmetries) its cross sections can be used to generate one-dimensional aperiodic sequences. | Хотя пифагорова мозаика сама по себе периодическая (она имеет квадратную решётку параллельных переносов), её сечения могут быть использованы для образования одномерных непериодичных последовательностей. |
| A set of tile-types (or prototiles) is aperiodic if copies of these tiles can form only non-periodic tilings. | Множество типов плиток (или протоплиток) является набором непериодичных протоплиток, если копии этих плиток могут образовать только апериодичные мозаики. |
| This method was later adapted by Goodman-Strauss to give a strongly aperiodic set of tiles in the hyperbolic plane. | Этот метод позднее был приспособлен Гудманом-Штраусом для получения строго апериодичного набора плиток на гиперболической плоскости. |
| In geometry, an Ammann-Beenker tiling is a nonperiodic tiling which can be generated either by an aperiodic set of prototiles as done by Robert Ammann in the 1970s, or by the cut-and-project method as done independently by F. P. M. Beenker. | В геометрии мозаика Амманна - Бинкера - это непериодическая мозаика, которая может быть получена либо с помощью апериодичного множества протоплиток, как это сделал Роберт Амманн в 1970-х, либо с помощью метода «вырезать-и-спроецировать», как было сделано независимо Ф. П. М. Бинкером. |
| An aperiodic tile set in the Euclidean plane that consists of just one tile-the Socolar-Taylor tile-was proposed in early 2010 by Joshua Socolar and Joan Taylor. | Апериодическое множество плиток на евклидовой плоскости, которое состоит только из одной плитки - плитки Соколара - Тейлор - было предложено в начале 2010-х годов Джошуа Соколаром и Джоан Тейлор. |
| Using Wolfram's classification scheme, Rule 30 is a Class III rule, displaying aperiodic, chaotic behaviour. | Из четырёх типов поведения, описанных в этой книге, Правило 30 обладает классом поведения III, показывая апериодическое, хаотическое поведение. |
| Thus T is not an aperiodic tiling, since its hull contains the periodic tiling... aaaaaa... | Таким образом, Т не является апериодичной мозаикой, поскольку её замыкание содержит периодическую мозаику... аааааа... |
| A right triangle with side lengths in the ratio 1:2 is rep-5, and its rep-5 dissection forms the basis of the aperiodic pinwheel tiling. | Прямоугольный треугольник с длинами сторон в пропорции 1:2 является rep-5, а его rep-5 разрезание образует базис апериодичной мозаики «Вертушка». |
| In particular, the celebrated Penrose tiling is an example of an aperiodic substitution tiling. | В частности, мозаика Пенроуза является примером апериодичной подстановочной мозаики. |