| The hardest part of the proof of the theorem was to obtain a priori estimates for the derivatives of the support function of a hypersurface up to third order inclusively. | Самая тяжелая часть доказательства теоремы была в получении априорных оценок для производных опорной функции гиперповерхности до третьего порядка включительно. |
| In Riemannian geometry, the Cheeger isoperimetric constant of a compact Riemannian manifold M is a positive real number h(M) defined in terms of the minimal area of a hypersurface that divides M into two disjoint pieces. | Изопериметрической константой Чигера компактного риманова многообразия М называется положительное вещественное число h(M), определяемое через минимальную площадь гиперповерхности, которая делит M на две непересекающиеся части равного объёма. |
| Examples: The simplest examples are the product of two curves of genus at least 2, and a hypersurface of degree at least 5 in P3. | Примеры: Простейшие примеры - это произведение двух кривых рода по меньшей мере 2 и гиперповерхности степени по меньшей мере 5 в P3. |
| All of these methods begin with a snapshot of the gravitational fields on some hypersurface, the initial data, and evolve these data to neighboring hypersurfaces. | Все перечисленные методы начинают со «снимка» гравитационного поля на некоторой гиперповерхности, то есть с начальных данных, и затем прослеживают его эволюцию до следующих близлежащих гиперповерхностей, двигаясь вперёд во времени. |
| The usual Bézout's theorem is easily deduced by starting from a hypersurface, and intersecting it with n-1 other hypersurfaces, one after the other. | Обычная теорема Безу легко выводится из этого утверждения, если начинать с гиперповерхности и последовательно пересекать её с n - 1 другими гиперповерхностями. |
| A closed convex hypersurface is uniquely defined not only by the metric but also by the Gaussian curvature as a function of unit normals. | Замкнутая выпуклая гиперповерхность однозначно задается не только метрикой, а и гауссовой кривизной, как функцией нормали. |
| H.W. Guggenheimer proved that every hypersurface C3-diffeomorphic to the sphere Sn-1 contains 2n vertices of a regular Euclidean n-cube. | Генрих Гуггенхаймер доказал, что любая гиперповерхность, СЗ-диффеоморфная сфере Sn-1, содержит 2n вершин правильного евклидова гиперкуба. |
| For example, it is not known whether there is any smooth cubic hypersurface in Pn+1 with n >= 4 which is not rational. | Например, неизвестно, существует ли нерациональная гладкая кубическая гиперповерхность в Pn+1 с n >= 4. |
| More generally, a smooth quadric (degree 2) hypersurface X of any dimension n is rational, by stereographic projection. | Более обще, гладкая квадратичная (степени 2) гиперповерхность X любой размерности n является рациональной ввиду cтереографической проекции (для квадратичного многообразия X над полем k должно предполагаться, что оно имеет k-рациональную точку. |
| But is the hypersurface regular under the condition that the Gaussian curvature K(n) is a regular function of a unit normal? | А будет ли гиперповерхность регулярной при условии, что гауссова кривизна K(n) есть регулярной функцией нормали. |
| In algebraic geometry, a line complex is a 3-fold given by the intersection of the Grassmannian G(2, 4) (embedded in projective space P5 by Plücker coordinates) with a hypersurface. | Комплекс прямых - это трёхмерное алгебраическое многообразие, заданное как пересечение грассманиана G(2, 4) (вложенного в проективное пространство P5 по Плюккеру) с гиперповерхностью. |
| Morley (1919) showed that the Lüroth quartics form an open subset of a degree 54 hypersurface, called the Lüroth hypersurface, in the space P14 of all quartics. | Морлей показал, что квартики Люрота образуют открытое подмножество гиперповерхности степени 54, называемой гиперповерхностью Люрота, в пространстве P14 всех квартик. |