| In other words, the group H in some sense has a similar algebraic structure as G and the homomorphism h preserves that. | Другими словами, группа Н в некотором смысле подобна алгебраической структуре G и гомоморфизм h сохраняет её. |
| For example, a homomorphism of topological groups is often required to be continuous. | Например, гомоморфизм топологических групп часто предполагается непрерывным. |
| In general, S is an antihomomorphism, so S2 is a homomorphism, which is therefore an automorphism if S was invertible (as may be required). | Вообще говоря, S - антигомоморфизм, так S2 - гомоморфизм, который является поэтому автоморфизмом, если S было обратимо (как может требоваться). |
| An L(2,1)-coloring is a homomorphism into the complement of the path graph that is locally injective, meaning it is required to be injective on the neighbourhood of every vertex. | L(2,1)-раскраска - это локально инъективный гомоморфизм в дополнение пути, что означает, что он должен быть инъективным в окрестности каждой вершины. |
| A homomorphism between orientations of graphs G and H yields a homomorphism between the undirected graphs G and H, simply by disregarding the orientations. | Гомоморфизм между ориентациями графов G и H даёт гомоморфизм между неориентированными графами G и H, если просто игнорировать ориентации. |
| A 3-coloring of a graph G may be described by a graph homomorphism from G to a triangle K3. | Раскраска в З цвета графа G может быть описана гомоморфизмом графов из G в треугольник K3. |
| In general, the trace is not a group homomorphism, nor does the set of traces form a group. | Вообще говоря, след не является гомоморфизмом, а множество следов не образует группы. |
| Thus, a k-coloring of an undirected graph G may be described by a homomorphism from G to the complete graph Kk. | Тогда к-раскраска неориентированного графа G может быть описана гомоморфизмом графа G в полный граф Kk. |
| This is equivalent to the above notion, as every dense morphism between two abelian varieties of the same dimension is automatically surjective with finite fibres, and if it preserves identities then it is a homomorphism of groups. | Это эквивалентно вышеприведенному понятию, поскольку любой плотный морфизм между двумя абелевыми многообразиями одной и той же размерности является автоматически сюръективным и имеет конечные слои, а если он сохраняет единицы, то он является гомоморфизмом групп. |
| The conditions on φ can be rephrased as saying that φ is a ring homomorphism from the cobordism ring of manifolds (with additional structure) to another ring. | Условия на φ можно переформулировать, сказав, что φ является гомоморфизмом кольца кобордизмов многообразий (с учётом структуры) в другое кольцо. |
| Constraint satisfaction problems, which generalize graph homomorphism problems, can express various additional types of conditions (such as individual preferences, or bounds on the number of coinciding assignments). | Задачи удовлетворения ограничений, которые обобщают задачи гомоморфизма графа, могут выражать дополнительные типы условий (такие как индивидуальные предпочтения или ограничения на число совпадающих назначений). |
| The computational complexity of finding a homomorphism between given graphs is prohibitive in general, but a lot is known about special cases that are solvable in polynomial time. | Вычислительная сложность поиска гомоморфизма между заданными графами в общем случае запредельная, но известно много частных случаев, когда задача выполнима за полиномиальное время. |
| This is because every undirected graph can be thought of as a directed graph where every arc (u, v) appears together with its inverse arc (v, u), and this does not change the definition of homomorphism. | Это потому, что любой неориентированный граф можно рассматривать как ориентированный, в котором любая дуга (u, v) появляется вместе с обратной дугой (v, u), а это не меняет определение гомоморфизма. |
| Let a be a root of f; we can then form the ring Z. There is a unique ring homomorphism φ from Z to Z/nZ that maps a to m. | Пусть а корень f; тогда существует кольцо Z. Тогда существует единственное кольцо гомоморфизма (англ.) φ между Z и Z/nZ, которое отображает a в m. |
| For each such pair, we can apply the ring homomorphism φ to the factorization of a+ba, and we can apply the canonical ring homomorphism from Z to Z/nZ to the factorization of a+bm. | Для каждой такой пары чисел (а, Ь) мы можем применить кольцо гомоморфизма φ для факторизации a+ba и каноническое кольцо гомоморфизма от Z до Z/nZ для факторизации a+bm. |
| The homomorphism problem with a fixed graph H on the right side of each instance is also called the H-coloring problem. | Задача о гомоморфизме с фиксированным графом Н с правой стороны каждого экземпляра называется задачей Н-раскраски. |
| In the language of parameterized complexity, this formally states that the homomorphism problem in G {\displaystyle {\mathcal {G}}} parameterized by the size (number of edges) of G exhibits a dichotomy. | На языке параметризованной сложности это утверждение формально гласит, что задача о гомоморфизме с графом G {\displaystyle {\mathcal {G}}}, параметризованная по размеру (числу рёбер) графа G, показывает дихотомию. |
| For a graph G of treewidth at most k and a graph H, the homomorphism problem can be solved in time |V(H)|O(k) with a standard dynamic programming approach. | Для графа G с древесной шириной, не превосходящей k, и графа H задача о гомоморфизме может быть решена за время|V(H)|O(k) стандартными методами динамического программирования. |
| In the graph homomorphism problem, an instance is a pair of graphs (G, H) and a solution is a homomorphism from G to H. The general decision problem, asking whether there is any solution, is NP-complete. | В задаче о гомоморфизме графа экземпляр задачи состоит из пары графов (G, H), а решением является гомоморфизм из G в H. Общая задача разрешимости, спрашивающая, имеется ли решение этой задачи, NP-полна. |