| The hardest part of the proof of the theorem was to obtain a priori estimates for the derivatives of the support function of a hypersurface up to third order inclusively. | Самая тяжелая часть доказательства теоремы была в получении априорных оценок для производных опорной функции гиперповерхности до третьего порядка включительно. |
| Thus, Einstein's equations for small space-time domain can be integrated by the three-dimensional hypersurface S v {\displaystyle S^{ u}}. | Таким образом, уравнения Эйнштейна для малой области псевдориманова пространства-времени можно проинтегрировать по трехмерной гиперповерхности S v {\displaystyle S^{ u}}. |
| Examples: The simplest examples are the product of two curves of genus at least 2, and a hypersurface of degree at least 5 in P3. | Примеры: Простейшие примеры - это произведение двух кривых рода по меньшей мере 2 и гиперповерхности степени по меньшей мере 5 в P3. |
| All of these methods begin with a snapshot of the gravitational fields on some hypersurface, the initial data, and evolve these data to neighboring hypersurfaces. | Все перечисленные методы начинают со «снимка» гравитационного поля на некоторой гиперповерхности, то есть с начальных данных, и затем прослеживают его эволюцию до следующих близлежащих гиперповерхностей, двигаясь вперёд во времени. |
| The usual Bézout's theorem is easily deduced by starting from a hypersurface, and intersecting it with n-1 other hypersurfaces, one after the other. | Обычная теорема Безу легко выводится из этого утверждения, если начинать с гиперповерхности и последовательно пересекать её с n - 1 другими гиперповерхностями. |
| A closed convex hypersurface is uniquely defined not only by the metric but also by the Gaussian curvature as a function of unit normals. | Замкнутая выпуклая гиперповерхность однозначно задается не только метрикой, а и гауссовой кривизной, как функцией нормали. |
| For example, it is not known whether there is any smooth cubic hypersurface in Pn+1 with n >= 4 which is not rational. | Например, неизвестно, существует ли нерациональная гладкая кубическая гиперповерхность в Pn+1 с n >= 4. |
| In a more geometrical form, this may restated as If a projective hypersurface of degree d does not contain any irreducible component of an algebraic set of degree δ, then the degree of their intersection is dδ. | Более геометрически это можно переформулировать следующим образом: если проективная гиперповерхность степени d не содержит ни одной неприводимой компоненты алгебраического множества степени δ, то степень их пересечения равна dδ. |
| More generally, a smooth quadric (degree 2) hypersurface X of any dimension n is rational, by stereographic projection. | Более обще, гладкая квадратичная (степени 2) гиперповерхность X любой размерности n является рациональной ввиду cтереографической проекции (для квадратичного многообразия X над полем k должно предполагаться, что оно имеет k-рациональную точку. |
| The linear line complex and quadric line complex are the cases when the hypersurface has degree 1 or 2; they are both rational varieties. | Линейный комплекс прямых и квадратичный комплекс прямых - это случаи, когда гиперповерхность имеет степень 1 или 2, в этих случаях комплекс прямых является рациональным многообразием. |
| In algebraic geometry, a line complex is a 3-fold given by the intersection of the Grassmannian G(2, 4) (embedded in projective space P5 by Plücker coordinates) with a hypersurface. | Комплекс прямых - это трёхмерное алгебраическое многообразие, заданное как пересечение грассманиана G(2, 4) (вложенного в проективное пространство P5 по Плюккеру) с гиперповерхностью. |
| Morley (1919) showed that the Lüroth quartics form an open subset of a degree 54 hypersurface, called the Lüroth hypersurface, in the space P14 of all quartics. | Морлей показал, что квартики Люрота образуют открытое подмножество гиперповерхности степени 54, называемой гиперповерхностью Люрота, в пространстве P14 всех квартик. |