| The hardest part of the proof of the theorem was to obtain a priori estimates for the derivatives of the support function of a hypersurface up to third order inclusively. | Самая тяжелая часть доказательства теоремы была в получении априорных оценок для производных опорной функции гиперповерхности до третьего порядка включительно. |
| Thus, Einstein's equations for small space-time domain can be integrated by the three-dimensional hypersurface S v {\displaystyle S^{ u}}. | Таким образом, уравнения Эйнштейна для малой области псевдориманова пространства-времени можно проинтегрировать по трехмерной гиперповерхности S v {\displaystyle S^{ u}}. |
| One can also say that the diagonalizable matrices form a dense subset with respect to the Zariski topology: the complement lies inside the set where the discriminant of the characteristic polynomial vanishes, which is a hypersurface. | Можно также сказать, что диагонализируемые матрицы образуют плотное подмножество в рамках топологии Зарисского: дополнение к этому подмножеству лежит множестве, в котором дискриминант характеристического многочлена обнуляется, то есть на гиперповерхности. |
| In Riemannian geometry, the Cheeger isoperimetric constant of a compact Riemannian manifold M is a positive real number h(M) defined in terms of the minimal area of a hypersurface that divides M into two disjoint pieces. | Изопериметрической константой Чигера компактного риманова многообразия М называется положительное вещественное число h(M), определяемое через минимальную площадь гиперповерхности, которая делит M на две непересекающиеся части равного объёма. |
| All of these methods begin with a snapshot of the gravitational fields on some hypersurface, the initial data, and evolve these data to neighboring hypersurfaces. | Все перечисленные методы начинают со «снимка» гравитационного поля на некоторой гиперповерхности, то есть с начальных данных, и затем прослеживают его эволюцию до следующих близлежащих гиперповерхностей, двигаясь вперёд во времени. |
| A closed convex hypersurface is uniquely defined not only by the metric but also by the Gaussian curvature as a function of unit normals. | Замкнутая выпуклая гиперповерхность однозначно задается не только метрикой, а и гауссовой кривизной, как функцией нормали. |
| H.W. Guggenheimer proved that every hypersurface C3-diffeomorphic to the sphere Sn-1 contains 2n vertices of a regular Euclidean n-cube. | Генрих Гуггенхаймер доказал, что любая гиперповерхность, СЗ-диффеоморфная сфере Sn-1, содержит 2n вершин правильного евклидова гиперкуба. |
| In a more geometrical form, this may restated as If a projective hypersurface of degree d does not contain any irreducible component of an algebraic set of degree δ, then the degree of their intersection is dδ. | Более геометрически это можно переформулировать следующим образом: если проективная гиперповерхность степени d не содержит ни одной неприводимой компоненты алгебраического множества степени δ, то степень их пересечения равна dδ. |
| More generally, a smooth quadric (degree 2) hypersurface X of any dimension n is rational, by stereographic projection. | Более обще, гладкая квадратичная (степени 2) гиперповерхность X любой размерности n является рациональной ввиду cтереографической проекции (для квадратичного многообразия X над полем k должно предполагаться, что оно имеет k-рациональную точку. |
| Two rings of 10 pentagonal antiprisms each bound the hypersurface of the 4-dimensional grand antiprism. | Два кольца из 10 пятиугольных антипризм в каждом ограничивают гиперповерхность 4-мерной великой антипризмы. |
| In algebraic geometry, a line complex is a 3-fold given by the intersection of the Grassmannian G(2, 4) (embedded in projective space P5 by Plücker coordinates) with a hypersurface. | Комплекс прямых - это трёхмерное алгебраическое многообразие, заданное как пересечение грассманиана G(2, 4) (вложенного в проективное пространство P5 по Плюккеру) с гиперповерхностью. |
| Morley (1919) showed that the Lüroth quartics form an open subset of a degree 54 hypersurface, called the Lüroth hypersurface, in the space P14 of all quartics. | Морлей показал, что квартики Люрота образуют открытое подмножество гиперповерхности степени 54, называемой гиперповерхностью Люрота, в пространстве P14 всех квартик. |