| As 18 = 2×32, a regular octadecagon cannot be constructed using a compass and straightedge. |
Имея 18 = 2×32 сторон, правильный восемнадцатиугольник не может быть построен с помощью циркуля и линейки. |
| In the 5th century BC, Hippocrates reduced this problem to that of finding two mean proportionals between one line and another of twice its length, but could not solve this with a compass and straightedge construction, a task which is now known to be impossible. |
В пятом веке до нашей эры Гиппократ свёл эту задачу к нахождению двух средних пропорциональных между одним отрезком и другим, вдвое большим его, но не смог решить её с помощью циркуля и линейки, что, как теперь известно, невозможно сделать. |
| Mathematicians of previous centuries had worked on practical methods for solving specific types of equations, e.g., cubic, quartic, and quintic equations, as well as on the related problem of constructing regular polygons using compass and straightedge. |
Математики предыдущих столетий работали над практическими методами решения конкретных типов уравнений, например, кубических, а также над связанной с этим задачей построения правильных многоугольников с помощью циркуля и линейки. |
| The impossibility of squaring the circle using only compass and straightedge constructions, suspected since ancient times, was rigorously proven in 1882 by Ferdinand von Lindemann. |
Невозможность решения задачи о квадратуре круга с использованием только циркуля и линейки была строго доказана в 1882 году Фердинандом фон Линдеманом. |
| In an early paper, he discovered that a cubic equation can have more than one solution and stated that it cannot be solved using compass and straightedge constructions. |
В ранних работах, посвящённых кубическим уравнениям, он обнаружил, что кубическое уравнение может иметь более одного решения, и утверждал, что уравнение не может быть решено с помощью циркуля и линейки. |