| The "cyclic order = arranging in a circle" idea works because any subset of a cycle is itself a cycle. | Идея «циклический порядок = расположение на окружности» работает, поскольку любое подмножество цикла также является циклом. |
| Instead, a cyclic order is defined as a ternary relation, meaning "after a, one reaches b before c". | Вместо этого циклический порядок определяется как тернарное отношение, означающее, что «после а достигаем Ь раньше, чем с». |
| A cyclic order on a set X can be determined by a linear order on X, but not in a unique way. | Циклический порядок на множестве Х может быть определён линейным порядком на Х, но не единственным образом. |
| Since a linear order induces a cyclic order, cyclically ordered groups are also a generalization of linearly ordered groups: the rational numbers Q, the real numbers R, and so on. | Поскольку линейный порядок порождает циклический порядок, циклически упорядоченные группы являются также обобщением линейно упорядоченных групп - рациональных чисел Q, вещественных чисел R и так далее. |
| A separation relation is a quaternary relation that can be thought of as a cyclic order without an orientation. | Отношение разделения является кватернарным отношением, которое можно понимать как циклический порядок без ориентации. |
| The cyclic quadrilateral has maximal area among all quadrilaterals having the same sequence of side lengths. | Вписанный четырёхугольник имеет максимальную площадь среди всех четырёхугольников, имеющих ту же последовательность длин сторон. |
| If a cyclic quadrilateral is also orthodiagonal, the distance from the circumcenter to any side equals half the length of the opposite side. | Если вписанный четырёхугольник является также ортодиагональным, расстояние от центра описанной окружности до любой стороны равно половине длины противоположной стороны. |
| If also d = 0, the cyclic quadrilateral becomes a triangle and the formula is reduced to Heron's formula. | Если же d= 0, вписанный четырёхугольник становится треугольником, и равенство превращается в формулу Герона. |
| Specifically, let ABCD be an arbitrary cyclic quadrilateral and let M1, M2, M3, M4 be the incenters of the triangles △ABD, △ABC, △BCD, △ACD. | В частности, пусть ABCD - произвольный вписанный четырёхугольник и пусть M1, M2, M3, M4 - центры вписанных в треугольники △ABD, △ABC, △BCD, △ACD окружностей. |
| A cyclic polygon is equiangular if and only if the alternate sides are equal (that is, sides 1, 3, 5, ... are equal and sides 2, 4, ... are equal). | Вписанный многоугольник равноуголен в том и только в том случае, когда чередующиеся стороны равны (то есть, стороны 1, 3, 5, ... равны и стороны 2, 4, ... тоже равны). |
| For instance, the Schur multiplier of the nonabelian group of order 6 is the trivial group since every Sylow subgroup is cyclic. | Например, мультипликатор Шура неабелевой группы 6-го порядка является тривиальной группой, поскольку любая подгруппа Силова циклична. |
| Well, maybe the source of dark energy then was actually the same as the one now and the Universe is cyclic somehow. | Тогда что если источник темной энергии на самом деле был тот же, что и сейчас, и Вселенная некоторым образом циклична? |
| Dorman Luke's construction can only be used where a polyhedron has such an intersphere and the vertex figure is cyclic. | Конструкция Дормана Люка может быть использована только когда многогранник имеет такую полувписанную сферу и вершинная фигура циклична, т.е. для однородных многогранников. |